第25個冬天

事實上，在上一篇我們完全不依賴scipy手刻的PSD計算的python程式 它的演算法流程就是所謂的Periodogram(週期圖)最原始簡單的作法。 periodogram（週期圖）是一種用來估計訊號功率頻譜密度 使用單一區段全部資料來計算 PSD 雖然速度快，但具有對雜訊敏感且變異數較大的限制。 顯示訊號的功率如何分布在不同頻率上。 常用於signal processing、vibration analysis、PPG/EEG/ECG 分析 在數學上，對於一個長度為  N  的離散時間訊號  x [ n ] ： 會用以下數學式子表示週期圖功率頻譜密度 推導過程 Step1.計算離散傅立葉轉換(實際應用場景中，可用快速傅立葉轉換更有效率做出來。) Step2.計算功率譜，也就是計算「振幅(幅度大小)平方」 Step3.除以樣本數N做正規化 原始periodogram功率頻譜密度 提供 每個樣本的功率估計值 。 原始 periodogram就是 最初版本、最簡單的 PSD 估計方法。 在實務上，通常使用 FFT 來有效率地進行計算。 原始periodogram功率頻譜密度特性 變異數 : 高；即使增加 \(N\)，變異數也不會下降，因此結果通常會比較多雜訊干擾。 偏差(Bias)、頻譜洩漏（Spectral Leakage）: 在有限長度訊號中的不連續現象，會使功率擴散到鄰近的頻率。 解析度(Resolution) Δ f = f s N ；較長的訊號可以提升解析度。 一致性（Consistency）: 原始 periodogram是不一致的估計量 原始periodogram功率頻譜密度限制 High variance : 峰值會產生波動 Spectral leakage : 有限長度資料會造成頻譜能量向周圍頻率擴散。 Poor consistency : N→∞時，原始 periodogram 不會收斂。 Trade-off between bias and resolution : 加窗（Windowing）可以降低頻譜洩漏，但會使頻譜峰值變寬。 常見改善方法 加窗（Windowing）： Hann、Hamming、Blackman 視窗可降低 頻譜洩漏（spectral leakage） 。 Welch 方法（Welch'...

功率頻譜密度（Power Spectral Density, PSD） 用來描述訊號在不同頻率下的功率分布情形。 功率頻譜密度（Power Spectral Density, PSD） S x ( f ) S_x(f) 適用於 功率訊號（power signals） 以及 廣義平穩程序（wide-sense stationary processes） 。 定義， 透過自相關函數（Autocorrelation）根據（ Wiener–Khinchin theorem，維納–辛欽定理 ）可得到如下式子 另一種定義 (此公式十分重要) ： 總功率與性質（Total Power and Properties） 換言之，總功率（Total Power）可以由功率頻譜密度 S x ( f ) S_x(f) 對所有頻率積分後得到。 把給定區間的功率譜密度全部加總起來 練習程式ver1.建立一個典型的10Hz正弦波訊號 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Sinusoid parameters fs = 100 # Sampling freq (Hz)每秒取樣 100 次。 t = np.arange( 0 , 1 , 1 /fs)#[0. 0.01 0.02 ... 0.98 0.99]，每次增加 0.01。 f0 = 10 # signal frequency # Sinusoidal signal x = np.sin( 2 * np.pi * f0 * t) # Plot plt.figure(figsize=( 8 , 4 )) plt.plot(t, x) plt.title( "10 Hz Sinusoid" ) plt.xlabel( "Time (s)" ) plt.ylabel( "Amplitude" ) plt.grid( True ) plt.show() 現在產生的是： x ( t ) = sin ⁡ ( 2 π f 0 t ) x(t)=\sin(2\pi f_0t) 其中 f 0 = 10  Hz f_0=10\text{ Hz} 意思是一秒鐘會完成...

  能量頻譜密度 Energy Spectral Density(ESD) 用於描述訊號在不同頻率下能量分布情形。 用  S E ( f )  來表示，X(f)為原先時間域x(t)的訊號做傅立葉轉換的結果。 能量譜密度的總能量關係滿足如下式子，就稱作帕塞瓦爾定里Parseval's theorem)。 總能量會等同於對時域跟頻域函數從負無窮到正無窮取平方的積分 所以 練習程式ver1.矩形脈衝Energy Signal import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fs = 1000 #Sampling Frequency T = 1 # Duration (seconds) t = np.linspace( 0 , T, int (T*fs), endpoint= False ) #建立一個全為0的訊號 x = np.zeros( len (t)) x[ int ( 0.4 *fs): int ( 0.6 *fs)] = 1 # 0.4 ~ 0.6 秒設定為 1 # Plot plt.figure(figsize=( 8 , 4 )) plt.plot(t, x) plt.title( "Rectangular Pulse" ) plt.xlabel( "Time (s)" ) plt.ylabel( "Amplitude" ) plt.grid( True ) plt.show() 運行效果 可以先得知目前此時間訊號的函數區間定義如下 x ( t ) = { 1 , 0.4 ≤ t < 0.6 0 , 其他時間 x(t)= \begin{cases} 1, & 0.4\leq t<0.6\\ 0, & \text{其他時間} \end{cases} 也就是一個寬度 0.6 − 0.4 = 0.2  秒 0.6-0.4=0.2\text{ 秒} 的矩形脈衝，是一個典型的 Energy Signal。。 它的能量為： E = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt ...

當產生訊號的過程過於複雜，以致無法建立合理的確定性模型（deterministic model）時，通常會使用隨機程序（random processes）來建立訊號模型。 10-6.FOURIER ANALYSIS OF STATIONARY RANDOM SIGNALS: THE PERIODOGRAM Oppenheim, Alan V., Ronald W. Schafer, and John R. Buck. Discrete-Time Signal Processing. 2nd ed https://www.brainkart.com/article/Random-Processes_6476/ Random：adj. 隨機的 在沒有特定方法或沒有經過有意識決策的情況下所做、完成或發生的。 在統計學（Statistics）中，指由隨機機率（chance）所支配或涉及相等機率的情況。 Stochastic：adj. 隨機的／隨機性的 具有隨機的機率分布（random probability distribution）或模式，可以透過統計方法進行分析，但可能無法被精確預測。 Process：n. 過程 為了達成某個特定目標而採取的一連串動作或步驟。 隨機過程  Stochastic(Random) Processes 為什麼要引入隨機過程（random process）？ 為了方便對一個系統進行分析。 在一個系統中，例如通訊系統（communication system），可以考慮兩種模型： 確定性模型（Deterministic model） 對其隨時間變化的（精確）行為不存在不確定性。 隨機模型／隨機過程模型（Random or Stochastic model） 對其隨時間變化(time-dependent)的行為存在不確定性，但對其統計行為(statistical behavior)則具有一定的確定性。 隨機變數 Random Variables 在機率空間 ( S , F , P ) (S,\mathcal{F},P) 上的一個隨機變數，其中： F \mathcal{F} 是一個 σ-field， 對於每一個 x ∈ R x\in\mathbb{R} ， { ζ ∈ S : x ( ζ ) ≤ x } 都必須是一個 事件（even...

當訊號可以由多個正弦波的總和，或由週期性脈衝序列（periodic pulse train）激發的線性系統（linear system）來建模時，訊號有限長度分段（finite-length segments）的傅立葉轉換，可以很方便且自然地利用傅立葉轉換（Fourier transforms）、加窗（windowing）與線性系統理論（linear system theory）來加以解釋。 然而，對於較類似雜訊（noiselike）的訊號，通常會將其建模為隨機訊號（random signals），其。 日常生活中充斥的訊號，常見線上心電圖、語音、雷達等等，絕大部分都是非平穩訊號（nonstationary signals）。 截自 Fundamentals of Sound and Vibration 功率譜(Power Spectrum) 功率譜描述的訊號的功率或能量如何分布在各頻率上，是一種頻域中的表示方法。 可觀測出訊號是由那些頻率的訊號所組成以及它的能量頻寬、分布。 常應用在訊號處理、通訊、震動分析、雜訊描述。 比方我們有一個x(t)訊號 ，因為要將訊號從時間域轉換到頻率域。 經過傅立葉轉換後的式子可表示如下 常見轉換工具有傅立葉級數跟傅立葉轉換，如果是 固定規則(週期性訊號)的訊號 採用傅立葉級數， 不規則訊號(非週期性訊號) 就採用傅立葉轉換。則其Power Spectrum就可用對X(f)取絕對值平方表示，它表示各個頻率成分對訊號功率的貢獻程度。 訊號分類 根據訊號在「無限時間範圍內的總能量」與「長時間平均功率」來分類，可細分成兩種類: 能量訊號(Energy signals) 總能量是有限的，平均功率為0。 功率訊號(Power signals) 總能量是無限的，平均功率是有限的。 Power Spectral Density of Random Signals 通常在實際應用中所遇到的大多數訊號，其未來的變化無法被精確得知。 我們只能針對這些變化做出機率性的敘述。 用來描述這類訊號的數學工具，是由一組可能實現值（realizations）所構成的隨機序列（random sequence），其中每一個實現值都有其對應的發生機率。 然而，在所有可能的實現值中，實驗者通常只能觀察到訊號的一個實現值，因此無法直接照搬針對確定性訊號所建立的定義來套用。因為...