DSP筆記3_Power Spectrum Estimation_功率譜及功率譜密度(Periodogram 與 Welch’s Method)

- 9月 13, 2026

以前國高中物理學過

功率的定義:作功的效率，單位時間內所作的功。

電功率 : 電源每秒提供的電能(或電器每秒消耗多少電能)

https://www.youtube.com/watch?v=KOFEY4akR0c

在前面DSP筆記2_傅立葉轉換於頻譜分析的應用筆記筆記章節中，已經介紹過一些傅立葉轉換與頻譜分析的基本概念，。

當我們對時域訊號執行 FFT（Fast Fourier Transform）時，會得到一組複數形式的頻域資料，每一個頻率點都包含實部（Real Part）與虛部（Imaginary Part）向量。

實部與虛部本身都可能具有正值或負值，但它們並不直接代表相位。若要取得某個頻率成分的相位資訊，可以利用實部與虛部計算 atan2會得到一個具有方向性(朝上為正、朝下為負)的相位資訊實部、虛部圖。

而在一般的頻譜分析中，我們通常比較關心各個頻率成分的大小，因此常會對 FFT 結果取絕對值（模長），類似之前第一篇筆記文章DSP筆記1_使用 NumPy自帶的fft做_觀察fft結果、ifft後的訊號波形圖、頻率對應相位的呈現結果。藉此得到幅度頻譜（Magnitude Spectrum）。對於實數時域訊號，由於 FFT 頻譜具有共軛對稱特性，因此實務上也常只觀察正頻率範圍，形成單邊頻譜（Single-Sided Spectrum）。

功率頻(Power Spectrum)

我們可以將週期性訊號視為由多個頻率所組成。例如，聲音是由多種音調組成的，而光則是由多種顏色組成的。頻率的範圍稱為頻譜（frequency spectrum）。

當我們分析訊號的頻譜時，通常起手式是要取得對該訊號做傅立葉轉換後的結果。

截自 Python Data Analysis Cookbook Published by Packt Publishing

而週期圖（periodogram）延伸了這一點，其數值等於傅立葉轉換幅度的平方

接下來可以從電路中的功率概念理解功率譜。對於純1Ω電阻負載，當我們假設R(電阻)固定為1Ω，則 P=V²=I² 。因此可以看到，功率與訊號振幅的平方有密切關係。。

因此當我們在訊號處理中，假設在估算一段訊號其功率譜，可以理解也是直接對頻譜圖結果取平方，更嚴謹的來說就是對 FFT 的複數結果取模長平方。

只不過縱軸部分會是以dB(分貝)去表示，不會直接單純用平方計算的結果。因為原先的值可能會過小不利於分析，因此通常會對其取10倍以10為底的對數其值取平方。

功率頻譜密度(Power Spectral Density)

主要是用於表示訊號在頻率域中能量如何分布的函數。當我們將時間域的訊號轉換至頻率域後，可確認各個頻率成分具有多少能量。

常用來估計PSD的方法有 periodogram 與 Welch’s Method，兩種做法皆是從輸入訊號計算頻率的頻譜。前者在方法上是採用全部資料作為單一區間來計算PSD，速度快但對雜訊敏感，變異較大。後者是會將輸入訊號切分成多個segment後進行平均來計算PSD，因此可有效降低變異，提供更穩定且平滑的PSD計算。

截自 Understanding Predictive Maintenance - Wave Data: Feature Engineering (Part 2 Spectral)

Welch 方法是週期圖法（periodogram technique）的改良版，可降低雜訊，以 P.D. Welch 的名字命名，功率譜的雜訊可透過以下步驟降低:

Step1.以固定的重疊點數來分割訊號。(PS:如果重疊點數為 0，則稱為 Bartlett 方法。)

Step2.在時域中，對步驟 1 的每個分段套用窗函數

Step3.按照「使用週期圖進行頻譜分析」手法，計算每個分段的週期圖。

Step4.對每段週期圖取平均值，藉此降低雜訊。

參考:

The Periodogram for Power Spectrum Estimation

https://www.youtube.com/watch?v=Qs-Zai0F2Pw

The Periodogram - Power Spectrum Estimation - Advanced Digital Signal Processing

https://youtu.be/X8ZpAsGjVkI?si=dSMr3XUepWNw3YdY

Welch's Method: The Averaged Periodogram