DSP筆記2_傅立葉轉換於頻譜分析的應用筆記

 

關於「譜」

https://www.youtube.com/watch?v=F2Yl7N2uQWs
關於譜的觀念可以從光學領域追朔，以前學過當一束光經過三稜鏡，會根據光的波長(週期)被分解為紅橙黃綠藍....等色彩，也稱作(可見光)光譜。

對於訊號而言，頻譜分析也就是所謂借助傅立葉變化，類似三稜鏡一般將訊號轉換到頻率域，藉此去解析出構成原始訊號不同頻率成分。而描述頻率分量的曲線就稱作訊號的頻譜。

如圖中所示，原始波形訊號經由傅立葉分解出三條不同訊號波長的偕波集合。而此時若我們從這張圖的時間軸的朝向去看，波長的倒數也就是頻率，可去看不同頻率上的幅值。

傅立葉這位法國數學家，當時提出「任何時間函數都可分解為若干正弦訊號的總和」。

正弦函數是構成訊號的描述基本單元

以下這三個參數通常就能用於區分不同正弦訊號的Identifier，更可以理解為訊號的資訊載體。
A 振幅，反映訊號的強度(顯著程度)

ω 頻率，衡量單位時間內訊號均勻重複的次數

Φ 相位，衡量時間延遲或時間偏移，可提供我們訊號於全局時間軸上出現時刻。

每個參數皆能乘載反映訊號產生原本質特徵的識別資訊

像是以下這個週期性波形，僅依靠肉眼觀察。我們無法很明確得知其數學模型。

無法得知該波形的準確頻率。若只依靠時域資訊，我們對複雜模式分析能力有限。

這也是為何需要將其分解為正弦訊號的原因。

因為我們人類對正弦訊號的特性比較熟悉。

傅立葉變換的核心是根據頻率，將原始訊號分解為若干正弦訊號的總和。

比方下面左側原始波形，經過傅立葉轉換分解後，得知可以用4個正弦訊號合成這個波形。

所以可以檢測到四個頻率成分

若要把這塊訊息用更簡潔呈現方式，可以透過繪製一個新的圖表。
橫軸以頻率而非時間作為自變數，縱軸以振幅來表示。
第一個正弦訊號在頻率對應位置是1，振幅為3。

第二個正弦訊號在頻率對應位置是7，振幅為1.5。

其他依此類推。

而相位參數則可以獨立呈現在另一張圖中

傅立葉函數以時域訊號作為輸入，輸出包含幅度和相位資訊的頻率函數。

當我們有能力拆解出頻譜資訊後可以做捨麼用途?

在工業領域中，可以想像遇到類似區分齒輪箱振動訊號原始波形，若從原始時域訊號難以發現問題，但從頻譜則可以清楚看到主要振動頻率，從而延伸做像是按傳動關係進一步推定振動源或故障異常分析等應用。

要從給定時域訊號中提取傅立葉變化就兩步驟

Step1.將時域訊號f(t)與形式為$e^{-j\omega t}$ 複指數相乘

$f(t)e^{-j\omega t}$

Step2.對所得到的乘積從負無窮到正無窮做積分。

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t}\,dt$

最終該積分的結果就是上面繪製的圖表乘載的資訊，涵蓋所有原始訊號中正弦分量的頻率、相位和幅度資訊。

複指數

可以展開為實部、虛部。會將餘弦函數至於實軸，正弦函數至於虛軸。

$e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j\sin(\omega t)$

實軸與虛軸上的分量隨時間變化，合成後的運動軌跡會形成一個圓。也可以理解為旋轉向量在實軸與虛軸上的投影。

這邊是負的jωt 代表讓其順時針旋轉，若正的jωt則是逆時針旋轉。

以下是一個動畫示意圖，將餘弦函數至於水平軸，正弦函數至於垂直軸。

當一個f(t)為正弦函數，嘗試進行傅立葉變化。

會先設置為離散形式每個清晰採樣點於圓形軌跡變化如下

左側f(t)為正弦函數

$\sin(2\pi f_{sig} t)$

右側複指數

$e^{-2\pi f_{\mathrm{spin}} t}$

f(t)採樣值大小會隨著時間對圓形軌跡旋轉向量進行縮放。

當進行到下一個採樣點，向量會旋轉到新的角度，該採樣點會再次對象量做縮放。

後續依此類推，向量旋轉到新角度後由對應正弦訊號採樣值做縮放。

而反方向紅色區域代表負值採樣點，這些採樣點會將旋轉向量縮放到負值反方向，旋轉向量會反向縮放。

若旋轉頻率為10個單位，也代表著於整個採樣周期內，旋轉向量會繞著圓形軌跡完成10圈旋轉。

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t}\,dt$ 乘積做積分後結果

若f(t)訊號裡面完全不含ω (頻率)，結果為0

若f(t)訊號裡面涵蓋ω (頻率)，，結果不為0

參考:

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