第25個冬天

  測試程式 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt t = np.arange( 0 , 1 , 0.01 ) xt1 = np.cos( 2 *np.pi* 3 *t) xt2 = np.cos( 2 *np.pi* 5 *t) xt3 = np.cos( 2 *np.pi* 7 *t) xt4 = np.cos( 2 *np.pi* 9 *t) #subplot(row,column,繪製圖表個數) plt.subplot( 4 , 1 , 1 ) plt.plot(t,xt1) plt.subplot( 4 , 1 , 2 ) plt.plot(t,xt2) plt.subplot( 4 , 1 , 3 ) plt.plot(t,xt3) plt.subplot( 4 , 1 , 4 ) plt.plot(t,xt4) plt.show()

  連續時間正弦波-數位取樣訊號 從 0 秒取樣到 0.999 秒，每隔：0.001秒取一個樣本。 plt.plot(t, xt)會把點連起來，像連續波形。 程式碼 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt t = np.arange( 0 , 1 , 0.001 ) #print(t) xt = np.sin( 2 *np.pi* 3 *t) plt.plot(t, xt) plt.title( "Sine Wave" ) plt.xlabel( "Time" ) plt.ylabel( "Amplitude" ) plt.show() xt = np.cos( 2 *np.pi* 3 *t) plt.plot(t, xt) plt.title( "Cosine Wave" ) plt.xlabel( "Time" ) plt.ylabel( "Amplitude" ) plt.show() 正弦波最標準的數學式通常寫成： 符號 A : 振幅 Amplitude f : 頻率 Frequency ，每秒完成幾個週期。 t : 時間 Time  ϕ : 初始相位 Phase 2πf : 角頻率，圓的一整圈是：360度，而在數學上通常不用度數，而使用「弧度 radian」。 36 0 ∘= 2π radians 對照式子可推得各參數分別如下 振幅=1 訊號頻率=3 Hz ，代表一秒鐘有 3 個週期。由於時間剛好介於一秒，因此會看到三個完整的正弦波 初始相位=0 角頻率=6π rad/s t = 0～0.999 秒 而餘弦波也依樣畫葫蘆。 若固定在一個 3 Hz 正弦波，於不同取樣間隔下，離散取樣點會有什麼差異。 左側是用0.001間隔密度採樣。也就是在一秒鐘內對 3 Hz 正弦波取 1000 點。 右側則用0.01間隔密度採樣，取樣間隔變大了 10 倍。每秒只取 100 個樣本。 stem() 很常用來表示離散時間訊號，每一根垂直線代表「一個取樣值」。 程式碼 import numpy as np import matplotlib.pyplot as p...

  在之前學習筆記探討過時間序列資料集可能會隱含趨勢，所謂的趨勢就是序列資料隨著時間持續增加或減少的現象。 通常在進行時間序列預測或辨識、建模之前去趨勢會對評估更有幫助。 obspy.core.trace.Trace.detrend https://docs.obspy.org/packages/autogen/obspy.core.trace.Trace.detrend.html#obspy.core.trace.Trace.detrend 在深入了解趨勢的課題之前，先回顧「線性迴歸」與「多項式迴歸」。 線性迴歸(Linear Regression) 適用於簡單線性資料集的擬合直線。如果資料點的散佈形狀近似直線，則資料為線性。 線性趨勢線通常會呈現以固定趨近等比的穩定變化間隔增減。 多項式迴歸(Polynomial regression) 是線性迴歸的延伸，其將依變數與自變數之間的關係建模為 n 次多項式。多項式趨勢線是一種曲線，適合擺動不定的資料使用，多項式的冪次可由資料波動的次數或曲線彎曲點 (波峰和波谷) 的個數決定。 因此二階多項式趨勢線通常僅有一個波峰或波谷。三階多項式趨勢線通常有一個或兩個波峰或波谷。 Scipy提供detrend方法 在Scipy提供detrend方法，預設若無指定type會採用linear線性最小平方法擬合方式或也可以指定constant然後用mean來做去趨勢。 Remove linear or constant trend along axis from data. https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.detrend.html#scipy.signal.detrend obspy.signal.detrend 封裝了預設有三種detrend方法 定義在兩個模組中 第一個模組 obspy.signal.detrend https://docs.obspy.org/packages/autogen/obspy.signal.detrend.html 1.obspy.signal.detrend.simple https://docs.obspy.org/packages/autogen/obspy.signal.detrend.s...

  https://www.baiwagopluscafe.co/pages/coffee-trivia-coffee-trivia-the-invention-of-filter-paper 咖啡濾紙會讓較小的顆粒通過，同時攔住較大的顆粒。 Filtering (濾波) Filtering 是一個選擇或抑制訊號中某些Frequency Components(頻率成分)的過程。 濾波絕大部分情境會用於抑制Noise(雜訊)，此方法若要有效則取決於訊號的頻譜跟雜訊頻譜是否有所差異。 Digital Filter (數位濾波器)做的事情與此類似，但處理方式更加精細。Digital Filter 可以讓訊號中的某些頻率成分通過；就像是咖啡濾紙一般，只不過「頻率」在這裡扮演的是「顆粒大小」的角色。 Digital Filter 不只是單純決定某個頻率「通過」或「被攔截」。它還可以根據實際功能需求，對每一個頻率成分進行不同程度的Attenuate(衰減)或Suppress(抑制)。使得數位濾波器能夠塑造或更改訊號的Frequency Spectrum(頻譜)。 PassBand(通帶):濾波器允許訊號通過的頻率 StopBand(阻帶):濾波器會擋掉訊號通過的頻率 (理想)濾波器分類->實務上不可能做到，現實中不是非黑即白。 https://blricrex.hypotheses.org/filtering-introduction 1.低通濾波器(LowPass Filter): 讓 低於截止頻率（Cutoff Frequency） ω c ​ 的頻率通過，並抑制（或阻擋） 高於 ω c ​ 的頻率。 可讓低頻訊號通過，不過存有一個臨界頻率，一旦超過此頻率，訊號就進到阻帶。高頻訊號就無法通過。 2.高通濾波器(HighPass Filter):抑制 低於截止頻率 ω c ​ 的頻率，並讓 高於 ω c ​ 的頻率通過。 只允許頻率高於截止頻率的訊號通過。 3.帶通濾波器(BandPass Filter): 讓位於指定頻率範圍內的頻率通過，也就是介於 ω 1 ​ 與 ω 2 ​ 之間的頻率；而低於或高於此頻帶範圍的頻率則會被抑制。 結合低通和高通濾波器特性，具有一個特定且有限的頻帶，訊號可以通過。而在低頻跟高頻範圍也都存在阻帶，因為帶通濾波器有兩個截...

  一般數位訊號如果出現某種逐漸遞增、遞減的趨勢 通常都需要做一個所謂去趨勢化(detrend)的前置處理。 scipy內建的detrend函數(scipy.signal.detrend) https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.detrend.html 是採用「簡單迴歸法」(最小平方法的線性迴歸)的移除趨勢方法 從時間序列資料中移除趨勢成分的函數，透過執行線性迴歸（嚴格來說是簡單迴歸）來移除趨勢。 演算法步驟 步驟 1：計算線性趨勢 針對資料使用最小平方法執行線性迴歸，也就是以直線近似資料的趨勢。 透過線性迴歸，可取得表示資料趨勢之直線的斜率與截距。 步驟 2：移除趨勢 將計算出的線性趨勢（直線）從原始資料中扣除。 如此一來，便可從資料中移除長期變動成分，僅保留雜訊成分。 和這次要實作的sliding window 方法不同 以下是藉由scipy.signal內建的convolve函數實作的滑動視窗去趨勢法 https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.convolve.html#scipy.signal.convolve import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.signal import convolve # ========================================== # 1. 產生模擬訊號 (弦波 + 向上飄移的趨勢 + 雜訊) # ========================================== t = np.linspace( 0 , 10 , 150 ) original_trend = 0.5 * t # 緩慢向上的線性趨勢 signal_data = np.sin( 2 * np.pi * 1.0 * t) + original_trend + np.random.normal( 0 , 0.2 , 150 ) # 2. 執行滑動視窗去趨勢 (使用卷積法) # ==================...

One-Period Binomial Model 二項樹（Binomial Tree）二項式定價模型 期權的二項式定價模型是由Cox, Ross and Rubinstein在 1979 年首次提出的。 是一種常用的方法，用來近似股票、選擇權或其他資產價格的變動。 二項樹是一種圖形表示方式，用來呈現資產在存續期間內，股票價格可能遵循的各種不同路徑。 在進行選擇權定價時，其基本假設是股票價格遵循隨機漫步（Random Walk）。 使用二項式樹時的主要假設包括利率保持不變、沒有股息發放，以及不存在交易成本或稅金。此模型最適用於期限較長或涉及有股息支付的證券的期權定價。 使用二項式樹來計算價格的過程會比Black Scholes還來的慢。 假設一個經濟體情境 屬於一個無風險債券(risk-free bond)，其無風險利率為 12%。 一檔股票，目前價格為 20 美元。 三個月後，股票價格將會是 22 美元或 18 美元。 將股票價格簡化為要馬上漲、要馬下跌 我們要將三個月到期的call option price去定價，履約價為21 當三個月到期時股票價格漲到22元，這時候call price價值就是1元，此時就會履約。 若未來股票下跌到18元，此時call price價值就是0元，則不履約。 在每一個時間步驟中，股票價格都有某個特定機率上漲某個百分比幅度，也有某個特定機率下跌某個百分比幅度。 如果我們能建立一個投資組合（Portfolio），使其報酬能夠複製選擇權的到期損益（Replicate the Payoff of an Option），那麼在市場不存在套利機會的情況下 選擇權價格=複製投資組合的價格 也就是說，如果「股票＋無風險債券」組成的投資組合，未來不論股價上漲或下跌，都能產生 和某個選擇權完全相同的損益，那麼今天這兩者的價格就必須相同；否則市場上就會出現無風險套利機會。 Binomial Tree Option Pricing Formula 假設要讓投資組合變成無風險投資組合 也就表示在「上漲」與「下跌」兩種情況下，投資組合的最終價值完全一樣 這個 Δ 就是所謂的 Delta 避險比率（hedge ratio）。 假設無風險利率為 r ，由於這個投資組合已經沒有風險，因此它應該只能賺取 無風險利率 。 到期時投資組合價值折現回今天為： 因此目前投資...