DSP筆記3_Power Spectrum Estimation_功率譜及功率譜密度(Periodogram 與 Welch’s Method)

當訊號可以由多個正弦波的總和，或由週期性脈衝序列（periodic pulse train）激發的線性系統（linear system）來建模時，訊號有限長度分段（finite-length segments）的傅立葉轉換，可以很方便且自然地利用傅立葉轉換（Fourier transforms）、加窗（windowing）與線性系統理論（linear system theory）來加以解釋。

然而，對於較類似雜訊（noiselike）的訊號，通常會將其建模為隨機訊號（random signals），其。

日常生活中充斥的訊號，常見線上心電圖、語音、雷達等等，絕大部分都是非平穩訊號（nonstationary signals）。

截自 Fundamentals of Sound and Vibration

功率譜(Power Spectrum)

功率譜描述的訊號的功率或能量如何分布在各頻率上，是一種頻域中的表示方法。

可觀測出訊號是由那些頻率的訊號所組成以及它的能量頻寬、分布。

常應用在訊號處理、通訊、震動分析、雜訊描述。

比方我們有一個x(t)訊號，因為要將訊號從時間域轉換到頻率域。

經過傅立葉轉換後的式子可表示如下

常見轉換工具有傅立葉級數跟傅立葉轉換，如果是固定規則(週期性訊號)的訊號採用傅立葉級數，不規則訊號(非週期性訊號)就採用傅立葉轉換。則其Power Spectrum就可用對X(f)取絕對值平方表示，它表示各個頻率成分對訊號功率的貢獻程度。

訊號分類
根據訊號在「無限時間範圍內的總能量」與「長時間平均功率」來分類，可細分成兩種類:

能量訊號(Energy signals)

總能量是有限的，平均功率為0。

功率訊號(Power signals)

總能量是無限的，平均功率是有限的。

Power Spectral Density of Random Signals

通常在實際應用中所遇到的大多數訊號，其未來的變化無法被精確得知。
我們只能針對這些變化做出機率性的敘述。

用來描述這類訊號的數學工具，是由一組可能實現值（realizations）所構成的隨機序列（random sequence），其中每一個實現值都有其對應的發生機率。

然而，在所有可能的實現值中，實驗者通常只能觀察到訊號的一個實現值，因此無法直接照搬針對確定性訊號所建立的定義來套用。因為若將隨機訊號的各個實現值視為離散時間序列，它們通常不具有有限能量，因此也不能做 DTFT(Discrete-Time Fourier transform)。

隨機訊號通常具有有限的平均功率（average power），因此可以利用平均功率頻譜密度來描述。而通常在通訊或訊號系統領域，會稱作「功率頻譜密度（power spectral density, PSD）」。

離散時間訊號

{y(t);t=0,±1,±2,…}

假設為一組具有零平均值的隨機變數序列：
E{y(t)}=0對所有 t (

E {\cdot}

表示期望值運算子，針對所有實現值的集合進行平均。)

y(t) 的自共變異數序列（autocovariance sequence, ACS），或稱共變異數函數（covariance function），定義為 r(k)=E{y(t)y∗(t−k)}

功率頻譜密度的第一種定義

PSD 被定義為共變異數序列的 DTFT

截自 P.Stoica: Spectred analysis of signal

ϕ (ω)

的定義與確定性訊號情況下的定義相似

截自 P.Stoica: Spectred analysis of signal

由已知的

\phi(\omega)

求回

\{r(k)\}

的反轉換為

截自 P.Stoica: Spectred analysis of signal

功率頻譜密度的第二種定義

ϕ(ω) 的第二種定義為

截自 P.Stoica: Spectred analysis of signal

在共變異數序列 $\{r(k)\}$ 衰減速度足夠快的適度假設下，此定義與式 (1.3.7) 等價
也就滿足以下式子

截自 P.Stoica: Spectred analysis of signal

以前國高中物理學過

功率的定義:作功的效率，單位時間內所作的功。

電功率 : 電源每秒提供的電能(或電器每秒消耗多少電能)

https://www.youtube.com/watch?v=KOFEY4akR0c

在前面DSP筆記2_傅立葉轉換於頻譜分析的應用筆記筆記章節中，已經介紹過一些傅立葉轉換與頻譜分析的基本概念，。

當我們對時域訊號執行 FFT（Fast Fourier Transform）時，會得到一組複數形式的頻域資料，每一個頻率點都包含實部（Real Part）與虛部（Imaginary Part）向量。

實部與虛部本身都可能具有正值或負值，但它們並不直接代表相位。若要取得某個頻率成分的相位資訊，可以利用實部與虛部計算 atan2會得到一個具有方向性(朝上為正、朝下為負)的相位資訊實部、虛部圖。

而在一般的頻譜分析中，我們通常比較關心各個頻率成分的大小，因此常會對 FFT 結果取絕對值（模長），類似之前第一篇筆記文章DSP筆記1_使用 NumPy自帶的fft做_觀察fft結果、ifft後的訊號波形圖、頻率對應相位的呈現結果。藉此得到幅度頻譜（Magnitude Spectrum）。對於實數時域訊號，由於 FFT 頻譜具有共軛對稱特性，因此實務上也常只觀察正頻率範圍，形成單邊頻譜（Single-Sided Spectrum）。

功率頻(Power Spectrum)

我們可以將週期性訊號視為由多個頻率所組成。例如，聲音是由多種音調組成的，而光則是由多種顏色組成的。頻率的範圍稱為頻譜（frequency spectrum）。

當我們分析訊號的頻譜時，通常起手式是要取得對該訊號做傅立葉轉換後的結果。

截自 Python Data Analysis Cookbook Published by Packt Publishing

而週期圖（periodogram）延伸了這一點，其數值等於傅立葉轉換幅度的平方

接下來可以從電路中的功率概念理解功率譜。對於純1Ω電阻負載，當我們假設R(電阻)固定為1Ω，則 P=V²=I² 。因此可以看到，功率與訊號振幅的平方有密切關係。。

因此當我們在訊號處理中，假設在估算一段訊號其功率譜，可以理解也是直接對頻譜圖結果取平方，更嚴謹的來說就是對 FFT 的複數結果取模長平方。

只不過縱軸部分會是以dB(分貝)去表示，不會直接單純用平方計算的結果。因為原先的值可能會過小不利於分析，因此通常會對其取10倍以10為底的對數其值取平方。

功率頻譜密度(Power Spectral Density)

主要是用於表示訊號在頻率域中能量如何分布的函數。當我們將時間域的訊號轉換至頻率域後，可確認各個頻率成分具有多少能量。

常用來估計PSD的方法有 periodogram 與 Welch’s Method，兩種做法皆是從輸入訊號計算頻率的頻譜。前者在方法上是採用全部資料作為單一區間來計算PSD，速度快但對雜訊敏感，變異較大。後者是會將輸入訊號切分成多個segment後進行平均來計算PSD，因此可有效降低變異，提供更穩定且平滑的PSD計算。

1.periodogram 週期圖方法

截自 P.Stoica: Spectred analysis of signal

當資料長度足夠長時，週期圖方法可以提供相當高的解析度。
但並不是良好的頻譜估計量，因為其變異數很高。
不會隨著資料長度增加而降低。
當我們對訊號所掌握的資訊只有樣本 $ \{y(t)\}_{t=1}^{N} $時，式1.3.10 中的期望值與極限運算皆無法實際執行。忽略這兩項運算後，可得到式2.2.1。
週期圖頻譜估計量 (2.2.1) 最早期的用途之一，是用來判斷時間序列中可能存在的「隱藏週期性」。

2.Welch 方法 [WELCH, 1967]

第一，在 Welch 方法中允許資料分段彼此重疊。第二，在計算週期圖（periodogram）之前，會先對每一個資料分段套用視窗函數。