第25個冬天

One-Period Binomial Model 二項樹（Binomial Tree）二項式定價模型 期權的二項式定價模型是由Cox, Ross and Rubinstein在 1979 年首次提出的。 是一種常用的方法，用來近似股票、選擇權或其他資產價格的變動。 二項樹是一種圖形表示方式，用來呈現資產在存續期間內，股票價格可能遵循的各種不同路徑。 在進行選擇權定價時，其基本假設是股票價格遵循隨機漫步（Random Walk）。 使用二項式樹時的主要假設包括利率保持不變、沒有股息發放，以及不存在交易成本或稅金。此模型最適用於期限較長或涉及有股息支付的證券的期權定價。 使用二項式樹來計算價格的過程會比Black Scholes還來的慢。 假設一個經濟體情境 屬於一個無風險債券(risk-free bond)，其無風險利率為 12%。 一檔股票，目前價格為 20 美元。 三個月後，股票價格將會是 22 美元或 18 美元。 將股票價格簡化為要馬上漲、要馬下跌 我們要將三個月到期的call option price去定價，履約價為21 當三個月到期時股票價格漲到22元，這時候call price價值就是1元，此時就會履約。 若未來股票下跌到18元，此時call price價值就是0元，則不履約。 在每一個時間步驟中，股票價格都有某個特定機率上漲某個百分比幅度，也有某個特定機率下跌某個百分比幅度。 如果我們能建立一個投資組合（Portfolio），使其報酬能夠複製選擇權的到期損益（Replicate the Payoff of an Option），那麼在市場不存在套利機會的情況下 選擇權價格=複製投資組合的價格 也就是說，如果「股票＋無風險債券」組成的投資組合，未來不論股價上漲或下跌，都能產生 和某個選擇權完全相同的損益，那麼今天這兩者的價格就必須相同；否則市場上就會出現無風險套利機會。 Binomial Tree Option Pricing Formula 假設要讓投資組合變成無風險投資組合 也就表示在「上漲」與「下跌」兩種情況下，投資組合的最終價值完全一樣 這個 Δ 就是所謂的 Delta 避險比率（hedge ratio）。 假設無風險利率為 r ，由於這個投資組合已經沒有風險，因此它應該只能賺取 無風險利率 。 到期時投資組合價值折現回今天為： 因此目前投資...

用蒙地卡羅法估算歐式買權1000次股價路徑 假設有一個商品50元，買家先跟賣家先約定好一年後要用60元去購買此商品。 若我們能夠預先估測一年後此商品出現在不同價位的機率是多少，那賣家就可以去估測賣給買家的這份合約應該值多少錢，而這有一個公平計價基準，也就是選擇權定價。 Black-Scholes 選擇權定價公式 買權（Call Option） ​ 賣權（Put Option） ​ 其中： S 0 S_0 S 0 ​ ： 目前股票價格 ，也就是時間 t = 0 t=0 t = 0 時的股價。 K K K ： 履約價格（Strike Price） 。 r r r ： 無風險利率（Risk-free Rate） 。 T T T ： 選擇權剩餘期間 ，以「年」為單位；實務上通常以交易日換算，例如一年約 252 個交易日 。 σ \sigma σ ：股票價格的 年化波動率（Volatility） 。 N ( x ) N(x) N ( x ) ： 標準常態分布的累積分布函數（CDF） 。 而 N ( x ) N(x) N ( x ) 可以理解成一個標準常態分布隨機變數，小於等於 x 的累積機率。 其數學表示為： 白話理解 Black-Scholes 公式就是利用 目前股價、履約價、無風險利率、到期時間、波動率 這 5 個主要因素，計算歐式買權與賣權的理論價格。 其中 d 1 d_1 d 1 ​ 、 d 2 d_2 d 2 ​ 可以先把它們視為公式中的「中間計算值」， 再透過標準常態分布的累積機率 N ( d 1 ) N(d_1) N ( d 1 ​ ) 、 N ( d 2 ) N(d_2) N ( d 2 ​ ) ，最後算出 Call 與 Put 的理論價格。 這邊用到Monte Carlo Simulation給予一些前置假設，嘗試去模擬一千到一萬次股價分佈，去計算期望值反推。 也可以白話來理解為 未來的股票價格變動 = 可預期的報酬趨勢 + 無法預測的隨機波動。 先備知識可參考蒙地卡羅求解圓周率 https://coolmandiary.blogspot.com/2026/08/monte-carlo-simulation_0688571789.html 蒙地卡羅法放到金融市場 一般化的維納過程（Wiener proce...

https://mwrona.com/posts/bisection-method/ 二分逼近法(Bisection Method) 當處於連續函數情境，則適合去套用bisection方法。 以下是一個推導的動畫示意 求解 f(x) = x² - 2 = 0 ，即找到 √2 ≈ 1.4142... 根據上面的數學式子很明顯會知道要求解的根位於1~2之間 那我們一開始就取二分，也就是中間值1.5 1.5帶入式子計算 => 1.5²  -2 > 0 代表我們猜的中間值取大了 這時候就要再去二分了，取的是[1,1.5]之間的中間值也就是1.25。 1.25帶入式子計算 => 1.25² -2 < 0 代表我們猜的中間值取小了 這時候就要再去二分了，取的是[1.25,1.5]之間的中間值 後續就持續往中間去逼近要求解的根，這就是Bi-Section 所以程式演算法每一次都會圍繞在[a,b]區間做三件事 先找中間值 接著判斷根在哪一半，再去調整左右哪側要取代為新的中間值 只要目前左右邊界 a 和 b 的距離還大於 0.000001，就繼續二分。 二分逼近法程式範例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 def f (x): return x** 2 - 2 a, b = 1 , 2 while b - a > 0.000001 : c = (a + b) / 2 if f(a) * f(c) < 0 : b = c else : a = c print ((a + b) / 2 ) 運行結果 利用Bi-section反推求解Volatility 選擇權定價主要是以 S 0 S_0 S 0 ​    、 K 、 r 、 T、volatility來計算call 和 put的價格 其中以下這些都是能根據當時市場狀況和合約內容直接得知或推得，也是固定值： S 0 S_0 S 0 ​ ：時間 0 時的股票價格 K K K ：履約價(合約到期價格) r r r ：無風險利率 T T T ：選擇權的存續期間，以年為單位，通常以交易日計算，例如一年為 252 個交易日 而唯獨V...

  https://www.wallstreetmojo.com/put-call-parity/ 利息的複利計算（Compounding the Interest） 附息證券的價值不僅取決於利率，也取決於利息的複利計算頻率。 (PS:假設取得的利息會以相同利率再投資。) 令： P 0 P_0 P 0 ​ ：初始時間 t 0 t_0 t 0 ​ 的本金金額 r r r ：年利率 n n n ：年數 則經過第 n n n 年後，債券的價值為： 其中： P n P_n P n ​ ：經過 n n n 年後的本金與利息總額 P 0 P_0 P 0 ​ ：初始本金 r r r ：每年的利率 n n n ：投資年數 若提高利息支付頻率，也就是增加複利計算的次數，假設每年計息 m > 1 m>1 m > 1 次，則 P n P_n P n ​ 的價值為： 其中： m m m ：每年的複利計算次數 r m \frac{r}{m} m r ​ ：每一期的利率 n m nm nm ：在 n n n 年內的總計息次數 假設有一項無風險證券，其固定利率為 r r r ，並且在一段 τ > 0 \tau>0 τ > 0 的期間內採用 連續複利 ，則其價值為： 其中： P 0 P_0 P 0 ​ ：初始時間 t 0 t_0 t 0 ​ 的投資本金 P τ P_{\tau} P τ ​ ：從時間 t 0 t_0 t 0 ​ 投資至 t 0 + τ t_0+\tau t 0 ​ + τ 時的到期價值 r r r ：固定年利率 τ \tau τ ：投資期間 e x e^x e x ：指數函數 例如，100 歐元以年利率 10% 連續複利一年，其價值為： P 1 = 100 e 0.1 ≈ 110.517 P_1=100e^{0.1}\approx110.517 P 1 ​ = 100 e 0.1 ≈ 110.517 測試程式 #1-1. r = 0.1 #年利率百分之10 100 *( 1 + r )** 10 #100元投入，投資10年獲得259.37元 #1-2.離散的發行，年利率 10% 時，100 歐元在一年內受到複利計息...