人工智慧金融投資決策_複利計算(Compounding the Interest)_Put-Call Parity(買賣權平價關係)、Black-Scholes Formulas

 

https://www.wallstreetmojo.com/put-call-parity/

利息的複利計算（Compounding the Interest）

附息證券的價值不僅取決於利率，也取決於利息的複利計算頻率。

(PS:假設取得的利息會以相同利率再投資。)

令：

• $P_0$：初始時間 $t_0$ 的本金金額
• $r$：年利率
• $n$：年數

則經過第 $n$ 年後，債券的價值為：

其中：

• $P_n$：經過 $n$ 年後的本金與利息總額
• $P_0$：初始本金
• $r$：每年的利率
• $n$：投資年數

若提高利息支付頻率，也就是增加複利計算的次數，假設每年計息 $m>1$ 次，則 $P_n$ 的價值為：

其中：

• $m$：每年的複利計算次數
• $\frac{r}{m}$：每一期的利率
• $nm$：在 $n$ 年內的總計息次數

假設有一項無風險證券，其固定利率為 $r$，並且在一段 $\tau>0$ 的期間內採用連續複利，則其價值為：

$$\begin{array}{c}\end{array}$$

其中：

• $P_0$：初始時間 $t_0$ 的投資本金
• $P_{\tau}$：從時間 $t_0$ 投資至 $t_0+\tau$ 時的到期價值
• $r$：固定年利率
• $\tau$：投資期間
• $e^x$：指數函數

例如，100 歐元以年利率 10% 連續複利一年，其價值為：

$$P_1=100e^{0.1}\approx110.517$$

測試程式

#1-1.
r = 0.1 #年利率百分之10
100*(1+r)**10 #100元投入，投資10年獲得259.37元


#1-2.離散的發行，年利率 10% 時，100 歐元在一年內受到複利計息頻率的影響
#複利計息次數越多，投資一年後的價值越高。
for m in [1,2,4,12,52,365]: #同樣年利率下，一樣投入100元，但是不同利息發行次數
  print(100*(1+r/m)**m)



#1-3.連續複利，假設交易是在時間上連續進行的
import math #後續要用exp函數
100*math.exp(r)#100 歐元以年利率 10% 連續複利一年，其價值

買賣平權關係（Put-Call Parity）

指具有相同的履約價與到期日的看漲選擇權(Call)與看跌選擇權(Put)，其價格之間存在的基本關係。如果平價關係不成立，則存在套利的空間。

買賣權平價公式：

$$\mathrm{<div\; class="separator"\; style="clear:\; both;\; text-align:\; center;"><a\; href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh4CPDzSGUDf4RK0gpbjSIXsodI3J4Y0TtaOUylS5J8Q5AK5I22qnlW5wXqks2WkvZTJLwkNJODlPHbAoltqYNUDsXWRYBGKDQek3PiPxAyd5Ad980v8zm-VZxS6I9VdzSApF2Gii5hyBtsyO5yfMCdkxcBjt8KQygqPeAnh9QFiyGIwUaofcodgU-vChBr"\; style="margin-left:\; 1em;\; margin-right:\; 1em;"><img\; data-original-height="488"\; data-original-width="1136"\; height="274"\; src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh4CPDzSGUDf4RK0gpbjSIXsodI3J4Y0TtaOUylS5J8Q5AK5I22qnlW5wXqks2WkvZTJLwkNJODlPHbAoltqYNUDsXWRYBGKDQek3PiPxAyd5Ad980v8zm-VZxS6I9VdzSApF2Gii5hyBtsyO5yfMCdkxcBjt8KQygqPeAnh9QFiyGIwUaofcodgU-vChBr=w640-h274"\; width="640"></a></div><br>這邊式子的X會等於底下介紹Black-Scholes區域的K。<br>}$$

假設有兩個投資組合，分別如下：

1. 一個歐式買權 $C$，加上金額為 $Xe^{-rT}$ 的現金。
2. 一個歐式賣權 $P$，加上一股股票 $S$。

其中：

• $C$：歐式買權目前的價格
• $P$：歐式賣權目前的價格
• $S$：標的股票目前的價格
• $X$：履約價
• $r$：無風險利率
• $T$：距離到期日的時間
• $Xe^{-rT}$：履約價 $X$ 的現值

因為買權(Call)與賣權(Put)的價格都是由市場自由交易產生，而且是分開交易的兩項商品。

若上述平價關係不成立，表示等式其中一邊的投資組合價格較便宜。投資人可以：

• 買進價格較便宜的投資組合；
• 放空價格較昂貴的投資組合；
• 將部位持有至到期日。

由於兩個投資組合在到期時具有相同的價值，因此可以賺取兩者目前的價差，這種交易稱為套利。

怎麼訂定新契約價格?

當新契約掛牌上市時候，期交所會根據幾個已知條件、評價公式算出買權跟賣權分別的理論價格，作為投資人盤前委託參考。

以下是幾個合約條件

• 標的指數 : 新契約掛牌前一日標的指數或價格。
• 履約價 : 依照規定設定而來的履約價。
• 履約日 : 依照規定設定而來的到期日。
• 波動率 : 示意算理論價格最大變數，可細分為歷史波動率跟隱含波動率。期交所會去參考市場狀況，選擇適當波動率。
• 無風險利率:通常會取一年期定期存款利率來作為無風險利率。

Black-Scholes Formulas

B-S Model (Black-Scholes Option Pricing Model)，是用於計算理論上選擇權的到期價值。

會以上述的5個條件為基礎，來套用到評價公式計算出新契約買權、賣權的理論價格。

其中：

• $S_0$：時間 0 時的股票價格；
• $K$：履約價；
• $r$：無風險利率；
• $T$：選擇權的存續期間，以年為單位，通常以交易日計算，例如一年為 252 個交易日；
• $\sigma$：股票價格的年化波動率；
• $N(x)$：標準常態分配的累積機率分配函數。

Black-Scholes 實作程式

import math
from scipy.stats import norm
#傳入S、K、T、r、val，返回合理價格
def blsprice(S, K, T, r, vol):
    d1 = (math.log(S / K) + (r + vol * vol / 2) * T) / (vol * math.sqrt(T))
    d2 = d1 - vol * math.sqrt(T)
    call = S * norm.cdf(d1) - K * math.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    return call

S = 50
K = 40
T = 2
r = 0.08
vol = 0.2

print(blsprice(S, K, T, r, vol))

合約內容如下

現貨商品價格50元

兩年後

買家有權利用40元來買此商品

每年風險利率0.08

波動率為0.2

計算其Black-Scholes

Ref:

選擇權套利密技大公開，教你5分鐘學會利用put call parity進行套利

https://itrader.com.tw/put-call-parity-arbitrage/

期貨漲跌停後如何計算合理價格? 教你用put call parity 估算

https://itrader.com.tw/futures-limit-up-down-put-call-parity/