人工智慧金融投資決策_Monte Carlo Simulation

Black-Scholes 選擇權定價公式

買權（Call Option）

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賣權（Put Option）

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其中：

• $S_0$：目前股票價格，也就是時間 $t=0$ 時的股價。
• $K$：履約價格（Strike Price）。
• $r$：無風險利率（Risk-free Rate）。
• $T$：選擇權剩餘期間，以「年」為單位；實務上通常以交易日換算，例如一年約 252 個交易日。
• $\sigma$：股票價格的年化波動率（Volatility）。
• $N(x)$：標準常態分布的累積分布函數（CDF）。

其中：

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以及：

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而 $N(x)$ 可以理解成一個標準常態分布隨機變數，小於等於 x 的累積機率。

其數學表示為：

白話理解

Black-Scholes 公式就是利用 目前股價、履約價、無風險利率、到期時間、波動率 這 5 個主要因素，計算歐式買權與賣權的理論價格。

其中 $d_1$、$d_2$ 可以先把它們視為公式中的「中間計算值」，

再透過標準常態分布的累積機率 $N(d_1)$、$N(d_2)$，最後算出 Call 與 Put 的理論價格。

蒙特(地)卡羅模擬

• 是科學計算中最重要且最普遍的數值方法之一。利用電腦模擬一個理想環境，然後利用亂數產生大量隨機狀況，藉以探討許多難以進行實際試驗的理論。
• 最早應用於曼哈頓計畫（Manhattan Project），之後也被用於氫彈的研發。
• 蒙地卡羅是摩納哥親王國最著名的一區，以豪華的賭場聞名於世。
• 20世紀40年代，在科學家馮·紐曼、斯塔尼斯拉夫·烏拉姆、尼古拉斯·梅特羅波利斯三位科學家在洛斯阿拉莫斯國家實驗室為核武器計劃工作時，發明了蒙地卡羅方法。
• 會取這個名稱，是因為烏拉姆的叔叔在摩納哥的蒙地卡羅賭場輸了很多錢。
• 1940年代美國研發核子武器時，採用電腦模擬進行爆炸威力研究，這個方法運用到機率及亂數來模擬中子碰撞所產生的能量，頗有賭博的意味，所以就用「蒙地卡羅」來命名

優點

• 廣泛應用於量化金融（Quantitative Finance），近年隨著 GPU 的發展而更加普及。
• 當評價問題中包含大量隨機因素，多到無法直接使用一般數值方法進行評價時，蒙地卡羅模擬特別有用。
• 當標的變數的機率分布較為複雜，使得直接求解相當困難時，也適合使用蒙地卡羅模擬。
• 適合處理**報酬取決於標的資產價格路徑（Path-dependent）**的金融商品。

缺點

• 使用蒙地卡羅方法評價美式選擇權（American Options）並不容易，雖然仍有方法可以做到。
• 計算效率相對較低，通常需要進行大量模擬，才能使選擇權價格逐漸收斂到較穩定的結果。

Ref:

源自美國核武器計劃的尖端金融科技

https://www.master-insight.com/article/5638

Monte Carlo Method Introduction 簡介蒙地卡羅方法

https://www.slideshare.net/slideshow/monte-carlo-method-introduction/252736936

https://albert-kuo.blogspot.com/2019/04/monte-carlo-simulation.html