淺談濾波器分類、過度帶_Butterworth Filter(巴特沃斯濾波器)
咖啡濾紙會讓較小的顆粒通過，同時攔住較大的顆粒。
Filtering (濾波)
Filtering 是一個選擇或抑制訊號中某些Frequency Components(頻率成分)的過程。
濾波絕大部分情境會用於抑制Noise(雜訊)，此方法若要有效則取決於訊號的頻譜跟雜訊頻譜是否有所差異。
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Digital Filter (數位濾波器)做的事情與此類似，但處理方式更加精細。Digital Filter 可以讓訊號中的某些頻率成分通過；就像是咖啡濾紙一般，只不過「頻率」在這裡扮演的是「顆粒大小」的角色。
Digital Filter 不只是單純決定某個頻率「通過」或「被攔截」。它還可以根據實際功能需求，對每一個頻率成分進行不同程度的Attenuate(衰減)或Suppress(抑制)。使得數位濾波器能夠塑造或更改訊號的Frequency Spectrum(頻譜)。
PassBand(通帶):濾波器允許訊號通過的頻率
StopBand(阻帶):濾波器會擋掉訊號通過的頻率
(理想)濾波器分類->實務上不可能做到，現實中不是非黑即白。
1.低通濾波器(LowPass Filter):
讓低於截止頻率（Cutoff Frequency） 的頻率通過，並抑制（或阻擋）高於 的頻率。
可讓低頻訊號通過，不過存有一個臨界頻率，一旦超過此頻率，訊號就進到阻帶。高頻訊號就無法通過。
2.高通濾波器(HighPass Filter):抑制低於截止頻率 的頻率，並讓高於 的頻率通過。
只允許頻率高於截止頻率的訊號通過。
3.帶通濾波器(BandPass Filter):
讓位於指定頻率範圍內的頻率通過，也就是介於 與 之間的頻率；而低於或高於此頻帶範圍的頻率則會被抑制。
結合低通和高通濾波器特性，具有一個特定且有限的頻帶，訊號可以通過。而在低頻跟高頻範圍也都存在阻帶，因為帶通濾波器有兩個截止頻率。
4.帶阻濾波器(BandStop Filter):
抑制位於指定頻率範圍內的頻率，也就是介於 與 之間的頻率，而讓其他頻率通過。
和帶通濾波器相同，也存在兩個截止頻率，不過兩個截止頻率的訊號會被阻帶給擋住。
而低於較低截止頻率、高於較高截止頻率的訊號則會通過。
Transition Bands (過渡帶)
- 通常不會像上面舉的幾個單一頻率的理想濾波器那樣，在通帶跟阻帶間瞬間切換。而是會定義一段介於Passbands跟Stopbands之間這段過渡帶。
- 通常如果濾波器越複雜中間過度帶就會越平順越窄。
以下是一個低通濾波器案例圖
如何去描述訊號通過濾波器的程度?
通常我們會用Gain (增益) 來去表示
Gain可以用來表示在某個指定頻率下的（相對）頻率響應幅值。換言之，就是「某個頻率的訊號經過濾波器後，被放大或削弱多少」。
因為增益的有效範圍沒有上限，因此通常會以分貝（decibel, dB）的對數尺度來定義。
可以依照下列公式，在linear gain 與 dB gain之間做轉換。
通常會比較關切的是Passband Gain(通帶增益)跟Stopband Gain(阻帶增益)
- Passband Gain是下限，因此在該通帶範圍內，Gain至少能保證會等於Passband Gain。
- Stopband Gain是上限，因此在阻帶範圍內，濾波器的Gain不應該超過Stopband Gain。
Butterworth 濾波器
- Butterworth 濾波器的設計目標，是讓Passband(通帶)內的頻率響應達到最大平坦。
- 經常使用在希望頻率響應保持平坦的應用中，例如音訊處理。
- 也就是說在通帶範圍內，濾波器的Gain(增益)會盡可能保持均勻一致。
- 這種平坦特性的代價是，它的Roll-off(滾降)速度比較慢，也就是進入Stopband(阻帶)之後，訊號衰減的速度沒有那麼陡峭。
Butterworth Low-Pass filter
以下圖來看，隨著n(階數)愈大就愈趨近理想狀態(越陡峭越窄)。而在起初通帶有最大平坦振福特性，阻帶單調變化。
Butterworth High-Pass filters
Ref:
Ideal Analogue Filters … And why they can’t exist!
How to Define the Spec for a Practical Analogue Filter
一口气讲完5种滤波器！仿真vs实测，到底差多少？
13.第十三讲_数字滤波器设计_模拟滤波器途径
知识与技巧 #038 - 时域、频域、和带宽
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