Stochastic(Random) Processes筆記1

當產生訊號的過程過於複雜，以致無法建立合理的確定性模型（deterministic model）時，通常會使用隨機程序（random processes）來建立訊號模型。

10-6.FOURIER ANALYSIS OF STATIONARY RANDOM SIGNALS: THE PERIODOGRAM

Oppenheim, Alan V., Ronald W. Schafer, and John R. Buck. Discrete-Time Signal Processing. 2nd ed

在沒有特定方法或沒有經過有意識決策的情況下所做、完成或發生的。

在統計學（Statistics）中，指由隨機機率（chance）所支配或涉及相等機率的情況。

Stochastic：adj. 隨機的／隨機性的

具有隨機的機率分布（random probability distribution）或模式，可以透過統計方法進行分析，但可能無法被精確預測。

Process：n. 過程

為了達成某個特定目標而採取的一連串動作或步驟。

隨機過程 Stochastic(Random) Processes

為什麼要引入隨機過程（random process）？

為了方便對一個系統進行分析。

在一個系統中，例如通訊系統（communication system），可以考慮兩種模型：

確定性模型（Deterministic model）
對其隨時間變化的（精確）行為不存在不確定性。
隨機模型／隨機過程模型（Random or Stochastic model）
對其隨時間變化(time-dependent)的行為存在不確定性，但對其統計行為(statistical behavior)則具有一定的確定性。

隨機變數 Random Variables

在機率空間 $(S,\mathcal{F},P)$ 上的一個隨機變數，其中：

$\mathcal{F}$ 是一個σ-field，對於每一個 $x\in\mathbb{R}$ ，{ζ∈S:x(ζ)≤x}都必須是一個事件（event）。
否則，隨機變數 $x$ 的累積分布函數(cumulative distribution function, CDF)將無法被良好定義
Pr[x≤x]=P({ζ∈S:x(ζ)≤x})
$P$ 是定義在 $\mathcal{F}$ 中各事件上的機率測度（probability measure）

隨機變數是一個實值函數（real-valued function） $x(\zeta)$ ，也就是：

x:S\rightarrow \mathbb{R}

並且對每一個 $x\in\mathbb{R}$ ，都必須滿足：

\{\zeta\in S:x(\zeta)\leq x\}\in\mathcal{F}

「隨機變數」這個名稱其實有些名不副實，因為它既不是隨機的，也不是一個變數。

隨機變數只是將樣本空間中的每一個點（結果）映射到實數線上的一個數值。

S 中的一個元素稱為樣本結果（sample outcome）。

\mathcal{F}

中的一個元素稱為事件（event）。

一個event是

S

的一個子集合（subset）。換句話說，

\mathcal{F}

是由

S

的子集合（事件）所組成的一個非空集合（non-empty collection），所以∈ F 會直覺去聯想到是探討機率。

機率測度（Probability measure）: $P$ 是針對

\mathcal{F}

中的事件所定義的。

第25個冬天