第25個冬天

  蒙特(地)卡羅 模擬 是科學計算中最重要且最普遍的數值方法之一。利用電腦模擬一個理想環境，然後利用亂數產生大量隨機狀況，藉以探討許多難以進行實際試驗的理論。 最早應用於曼哈頓計畫（Manhattan Project），之後也被用於氫彈的研發。 後續時常用在經濟學、物理學(量子、熱力)、機器學習等領域 蒙地卡羅是摩納哥親王國最著名的一區，以豪華的賭場聞名於世。 20世紀40年代，在科學家馮·紐曼、斯塔尼斯拉夫·烏拉姆、尼古拉斯·梅特羅波利斯三位科學家在洛斯阿拉莫斯國家實驗室為核武器計劃工作時，發明了蒙地卡羅方法。 會取這個名稱，是因為烏拉姆的叔叔在摩納哥的蒙地卡羅賭場輸了很多錢。 1940年代美國研發核子武器時，採用電腦模擬進行爆炸威力研究，這個方法運用到機率及亂數來模擬中子碰撞所產生的能量，頗有賭博的意味，所以就用「蒙地卡羅」來命名。 優點 廣泛應用於 量化金融（Quantitative Finance） ，近年隨著 GPU 的發展而更加普及。 當評價問題中包含大量隨機因素，多到無法直接使用一般數值方法進行評價時，蒙地卡羅模擬特別有用。 當標的變數的機率分布較為複雜，使得直接求解相當困難時，也適合使用蒙地卡羅模擬。 適合處理**報酬取決於標的資產價格路徑（Path-dependent）**的金融商品。 缺點 使用蒙地卡羅方法評價美式選擇權（American Options）並不容易，雖然仍有方法可以做到。 計算效率相對較低，通常需要進行大量模擬，才能使選擇權價格逐漸收斂到較穩定的結果。 求圓周率π 圓的周長和其直徑的比率，約等於3.14159265358979323846264.... 它在18世紀中期之後一般用希臘字母 π 來表示 中國南宋朝數學家祖沖之，曾經用幾何方法將圓周率計算到小數點後7位數字。因此，數學界又將圓周率敬稱祖率。 測試程式碼(原子分布狀態模擬10000個點) import numpy as np import pylab as plt batch = 10000 #隨機產生 10000 個二維座標點 (x, y) #其中 x、y 都介於 0～1 之間，最後畫成散佈圖（Scatter Plot）。 #uniform(平均分布)->位於0~1之間機率都是一樣的 xs = np.random.uniform...

用蒙地卡羅法估算歐式買權1000次股價路徑 假設有一個商品50元，買家先跟賣家先約定好一年後要用60元去購買此商品。 若我們能夠預先估測一年後此商品出現在不同價位的機率是多少，那賣家就可以去估測賣給買家的這份合約應該值多少錢，而這有一個公平計價基準，也就是選擇權定價。 Black-Scholes 選擇權定價公式 買權（Call Option） ​ 賣權（Put Option） ​ 其中： S 0 S_0 S 0 ​ ： 目前股票價格 ，也就是時間 t = 0 t=0 t = 0 時的股價。 K K K ： 履約價格（Strike Price） 。 r r r ： 無風險利率（Risk-free Rate） 。 T T T ： 選擇權剩餘期間 ，以「年」為單位；實務上通常以交易日換算，例如一年約 252 個交易日 。 σ \sigma σ ：股票價格的 年化波動率（Volatility） 。 N ( x ) N(x) N ( x ) ： 標準常態分布的累積分布函數（CDF） 。 而 N ( x ) N(x) N ( x ) 可以理解成一個標準常態分布隨機變數，小於等於 x 的累積機率。 其數學表示為： 白話理解 Black-Scholes 公式就是利用 目前股價、履約價、無風險利率、到期時間、波動率 這 5 個主要因素，計算歐式買權與賣權的理論價格。 其中 d 1 d_1 d 1 ​ 、 d 2 d_2 d 2 ​ 可以先把它們視為公式中的「中間計算值」， 再透過標準常態分布的累積機率 N ( d 1 ) N(d_1) N ( d 1 ​ ) 、 N ( d 2 ) N(d_2) N ( d 2 ​ ) ，最後算出 Call 與 Put 的理論價格。 這邊用到Monte Carlo Simulation給予一些前置假設，嘗試去模擬一千到一萬次股價分佈，去計算期望值反推。 也可以白話來理解為 未來的股票價格變動 = 可預期的報酬趨勢 + 無法預測的隨機波動。 先備知識可參考蒙地卡羅求解圓周率 https://coolmandiary.blogspot.com/2026/08/monte-carlo-simulation_0688571789.html 蒙地卡羅法放到金融市場 一般化的維納過程（Wiener proce...