人工智慧金融投資決策_蒙地卡羅模擬歐式買權定價演算法

用蒙地卡羅法估算歐式買權1000次股價路徑

假設有一個商品50元，買家先跟賣家先約定好一年後要用60元去購買此商品。

若我們能夠預先估測一年後此商品出現在不同價位的機率是多少，那賣家就可以去估測賣給買家的這份合約應該值多少錢，而這有一個公平計價基準，也就是選擇權定價。

Black-Scholes 選擇權定價公式

買權（Call Option）

​

賣權（Put Option）

​

其中：

• $S_0$：目前股票價格，也就是時間 $t=0$ 時的股價。
• $K$：履約價格（Strike Price）。
• $r$：無風險利率（Risk-free Rate）。
• $T$：選擇權剩餘期間，以「年」為單位；實務上通常以交易日換算，例如一年約 252 個交易日。
• $\sigma$：股票價格的年化波動率（Volatility）。
• $N(x)$：標準常態分布的累積分布函數（CDF）。

而 $N(x)$ 可以理解成一個標準常態分布隨機變數，小於等於 x 的累積機率。

其數學表示為：

白話理解

Black-Scholes 公式就是利用 目前股價、履約價、無風險利率、到期時間、波動率 這 5 個主要因素，計算歐式買權與賣權的理論價格。

其中 $d_1$、$d_2$ 可以先把它們視為公式中的「中間計算值」，

再透過標準常態分布的累積機率 $N(d_1)$、$N(d_2)$，最後算出 Call 與 Put 的理論價格。

這邊用到Monte Carlo Simulation給予一些前置假設，嘗試去模擬一千到一萬次股價分佈，去計算期望值反推。

也可以白話來理解為

未來的股票價格變動 = 可預期的報酬趨勢 + 無法預測的隨機波動。

先備知識可參考蒙地卡羅求解圓周率

https://coolmandiary.blogspot.com/2026/08/monte-carlo-simulation_0688571789.html

蒙地卡羅法放到金融市場

• 一般化的維納過程（Wiener process） dz，具有固定的期望漂移率（expected drift rate）與固定的變異率（variance rate）。
• 然而，這種假設可能並不適當，因為它意味著：
  投資人所要求的預期報酬百分比，與股票價格本身無關。例如：不論股票價格是 10 美元還是 50 美元，所要求的報酬率都固定為 14%。
• 隨機模擬未來可能出現的股票價格。
• 因為未來股票價格不確定，因此需要建立一個隨機模型。

股價變動 = 可預期的趨勢 + 不可預期的隨機變動

• S：股票在時間 t 的價格
• ΔS：股票價格的變化
• μ：某個固定參數，代表股票的預期報酬率
• 股票價格 S 的預期漂移率（expected drift rate），應假設為：μS
• 也就是說，股票價格越高，其「絕對價格變動量」也會相對較大。
• Drift(漂移) : 代表股票的平均預期報酬趨勢，例如：μ=0.10，代表年化預期報酬率約為10%。
• Shock : 代表市場的隨機波動

在時間區間 Δt 內，報酬率百分比的波動程度（variability）不會因股票價格不同而改變，藉此描述市場的不確定性。

為了用電腦進行模擬，我們需要將它轉換成離散時間模型（discrete-time model）

Algorithm for Pricing a European Call

1.從標準常態分配中，抽取 N 個（偽）隨機數：

股價會去模擬N次，用今日股價當作S₀。

2.對每一個隨機數 ε(i)，依據公式 (5.7) 計算到期時的標的指數／股價 ST​(i)：

Δt就是距離到期時間的間隔，今天股價到後續會走N次，距離到期時間為T，拿T/N。

3.計算每一個到期時買權的內含價值（intrinsic value）：

其中：

• ST​(i)：第 i 次模擬得到的到期股價
• K：履約價
• 若 ST​>K，買權有價值
• 若 ST​≤K，買權價值為 0

4.使用蒙地卡羅估計量（Monte Carlo estimator）估算選擇權目前價值：

我們這邊拿之前Black-Scholes計算出來的call price當參照答案

測試程式

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
#模擬股票的走勢，實作公式5.7
def MCsim(S, T, r, vol, N):
    dt = T / N#時間跨度
    St = np.zeros((N + 1))
    St[0] = S
    #0推1->1推2->2推3....->N-1推到N，共推N次
    for i in range(N):
        St[i+1] = St[i]*math.exp((r-0.5*vol*vol)*dt+vol*np.random.normal()*math.sqrt(dt))
    return St
S = 50
K = 40
T = 2
r = 0.08
vol = 0.2
#call=16.383741845158895
N = 100
Sa = MCsim(S,T,r,vol,N)
print(Sa)
plt.plot(Sa)
plt.show()

def MCprice(S,K,T,r,vol,M,N):
  call = 0
  for i in range(M):
    Sa = MCsim(S,T,r,vol,N)
    plt.plot(Sa)
    if(Sa[-1]-K>0):#選擇履約
      call += (Sa[-1]-K)
    #plt.show()
  return call/M*math.exp(-r*T)
#M參數拉大會更準
call = MCprice(S,K,T,r,vol,1000,100)
print(call)

這段程式是在做兩件事：

1. 用 幾何布朗運動（GBM） 模擬一條股票價格路徑。
2. 重複模擬很多次，用 Monte Carlo 蒙地卡羅法估算歐式買權（European Call）的價格。

1.MCsim()：模擬一條股票價格路徑

這邊把5.7公式用python程式碼去實作

2.用蒙地卡羅法估算歐式買權1000次股價路徑

• S(股票現在價格):50
• K(Call 履約價格):40
• T(到期時間2年):2
• r(年化無風險利率 8%):0.08
• vol(年化波動率 20%):0.2
• N(將2年切成100個時間區段):100 ->每條股價路徑切成幾步
• M(Monte Carlo模擬1000條路徑):1000 ->總共模擬幾條股價路徑

程式當中用到的 np.random.normal() ->也就是常態分佈ε∼N(0,1)

NumPy 在沒有傳入參數時，預設等同於：np.random.normal(loc=0.0, scale=1.0)
也就是：從平均數 0、標準差 1 的標準常態分配隨機抽一個數字。

Monte Carlo Simulation With Geometric Brownian Motion Explained

https://www.investopedia.com/articles/07/montecarlo.asp