人工智慧金融投資決策_ Binomial Tree Pricing

- 8月 09, 2026

One-Period Binomial Model

二項樹（Binomial Tree）二項式定價模型

期權的二項式定價模型是由Cox, Ross and Rubinstein在 1979 年首次提出的。
是一種常用的方法，用來近似股票、選擇權或其他資產價格的變動。
二項樹是一種圖形表示方式，用來呈現資產在存續期間內，股票價格可能遵循的各種不同路徑。
在進行選擇權定價時，其基本假設是股票價格遵循隨機漫步（Random Walk）。
使用二項式樹時的主要假設包括利率保持不變、沒有股息發放，以及不存在交易成本或稅金。此模型最適用於期限較長或涉及有股息支付的證券的期權定價。
使用二項式樹來計算價格的過程會比Black Scholes還來的慢。

假設一個經濟體情境

屬於一個無風險債券(risk-free bond)，其無風險利率為 12%。
一檔股票，目前價格為 20 美元。
三個月後，股票價格將會是 22 美元或 18 美元。
將股票價格簡化為要馬上漲、要馬下跌
我們要將三個月到期的call option price去定價，履約價為21
當三個月到期時股票價格漲到22元，這時候call price價值就是1元，此時就會履約。
若未來股票下跌到18元，此時call price價值就是0元，則不履約。
在每一個時間步驟中，股票價格都有某個特定機率上漲某個百分比幅度，也有某個特定機率下跌某個百分比幅度。

如果我們能建立一個投資組合（Portfolio），使其報酬能夠複製選擇權的到期損益（Replicate the Payoff of an Option），那麼在市場不存在套利機會的情況下

選擇權價格=複製投資組合的價格

也就是說，如果「股票＋無風險債券」組成的投資組合，未來不論股價上漲或下跌，都能產生

和某個選擇權完全相同的損益，那麼今天這兩者的價格就必須相同；否則市場上就會出現無風險套利機會。

Binomial Tree Option Pricing Formula

假設要讓投資組合變成無風險投資組合

也就表示在「上漲」與「下跌」兩種情況下，投資組合的最終價值完全一樣

這個 Δ 就是所謂的 Delta 避險比率（hedge ratio）。

假設無風險利率為 r，由於這個投資組合已經沒有風險，因此它應該只能賺取無風險利率。

到期時投資組合價值折現回今天為：

因此目前投資組合的價值：

這個式子進一步整理，就可以得到一期二項樹的選擇權價格：

n-step Binomial Model

在風險中立世界中，以資本利得形式表示的預期報酬率為 r。

其期望值為：

定義 R 為資產價格在時間 Δt 內的百分比變動率。則：

有機率 p，使得 $1 + R = u$
有機率 $1 - p$ ，使得 $1 + R = d$

根據上一個公式，

1 + R

的變異數為：

將公式 (5.2) 的等號兩邊同時乘以 (u+d)，再與公式 (5.3) 結合，可以得到：

根據Cox、Ross 與 Rubinstein（1979）提出的方法：

根據公式 (5.2)、(5.4) 與 (5.5)，可以得到：

u、d分別是上漲跟下跌的比率。

底下是 Tow-Period Binomial Model

S₀ : 代表是今天(當下)的股價。

有p的機率股價變成S₀ * u

有1-p的機率股價變成S₀ * d

隔天則會根據上一個節點，又有二分可能。

有可能先漲再跌，也可能先跌再漲。

因此根據two-step由上至下四種路徑各自機率如下

S₀ * u² =>代表買了兩次都漲，機率: p²

S₀ * ud =>代表買了先漲再跌，機率: p(1-p)

S₀ * ud =>代表買了先跌再漲，機率: (1-p)p

S₀ * d² =>代表買了兩次都跌，機率: (1-p)²

第一階段.第一棵股價樹矩陣的Pseudo Code

透過兩層迴圈，把整個 n-step 股票價格二項樹建立出來。

Step1.將 T 切成 n 期，準備一個 Price[n+1][n+1]的空矩陣。

Step2.初始化Price[0][0] = S ，將目前的股票價格 S 放在矩陣的起始位置。

Step3.接著利用 r 與 c 兩層迴圈來計算Price[r][c] 逐一填寫此矩陣的 upper triangle

Step4.c 從 1 跑到 n

針對每一個 c，r 從 0 跑到 c，逐一計算Price[r][c]
例如當c = 3時，需要依序計算：Price[0][3] 、Price[1][3] 、Price[2][3] 、Price[3][3]
當r是0時，則Price[r][c] = Price[r][c-1] * u，每個元素都是其左邊元素乘上d。
當r 非0時，則Price[r][c] = Price[r-1][c-1] * d，每個元素都是其左上角元素乘上d。

第二階段.第二棵機率樹矩陣的Pseudo Code

Step1.將 T 切成 n 期，準備 Prob[n+1][n+1] 空矩陣
Step2.初始 Prob[0][0] = SStep1.
Step3.接著用 r 及 c 兩層迴圈來計算 Prob[r][c]，逐一填寫此矩陣的 upper triangle
Step4. c 從 1 跑到 n

　► 針對每個 c ， r 從 0 跑到 c，逐一計算 Prob[r][c]

　► 承上，當 c 是 3 的時候，要計算
　　prob[0][3]、prob[1][3]、prob[2][3]、prob[3][3]

　► 當 r 是 0 的時候，prob[r][c] = prob[r][c-1] * p

　　即：prob[0][c] = prob[0][c-1] * p，是其左邊元素乘 p

　► 當 r == c 時，prob[r][c] = prob[r-1][c-1] * (1-p)

　　即：prob[c][c] = prob[c-1][c-1] * (1-p) ，是其左上元素乘 $(1 - p)$

　► 其他時候，prob[r][c] = prob[r][c-1] * p+ prob[r-1][c-1] * (1-p)

　　，從左邊及左上兩個元素各自乘 p 及 $(1 - p)$ 計算過來。

第三階段.取出 price 及 prob 兩個 tree 的最後一個 column，計算每個股價下的選擇權報酬，再乘上各自的機率，計算出此選擇權整體的期望報酬後再折現回今日價。

測試程式碼

import numpy as np
import math
def bitprice(S,K,T,r0,vol,N):
  dt=T/N
  u=math.exp(vol*math.sqrt(dt))
  d=math.exp(-vol*math.sqrt(dt))
  p=(math.exp(r0*dt)-d)/(u-d)
  price=np.zeros((N+1,N+1))
  price[0,0]=S
  for c in range(1,N+1):
    price[0][c]=price[0][c-1]*u
    for r in range(1,c+1):
      price[r][c] = price[r-1][c-1]*d
  prob = np.zeros((N+1,N+1))
  prob[0][0]=1
  for c in range(1,N+1):
    prob[0][c]=prob[0][c-1]*p
    for r in range(1,c):
      prob[r][c] = prob[r-1][c-1]*(1-p)+prob[r][c-1]*p
    prob[c][c] = prob[c-1][c-1]*(1-p)
  call = 0
  for r in range(N+1):
    if(price[r][N]>K):
      call += (price[r][N]-K) * prob[r][N]
  print("價格樹")
  print(price)
  print("機率樹")
  print(prob)
  return call*math.exp(-r0*T)



S = 50
K = 40
T = 2
r = 0.08
vol = 0.2
call = bitprice(S,K,T,r,vol,5)
print(call)

程式運行結果

Ref:

Binomial Pricing

https://quantra.quantinsti.com/glossary/Binomial-Pricing

金融衍生品06-An Introduction to Binomial Tree Models

https://www.bilibili.com/video/BV1wK411W7K9

Comprehensive Guide to Binomial Trees: Definitions and Examples

https://www.investopedia.com/terms/b/binomial_tree.asp

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