人工智慧金融投資決策_ 利用Bi-section反推求解Volatility

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二分逼近法(Bisection Method)

當處於連續函數情境，則適合去套用bisection方法。

以下是一個推導的動畫示意

求解 f(x) = x² - 2 = 0，即找到 √2 ≈ 1.4142...

根據上面的數學式子很明顯會知道要求解的根位於1~2之間

那我們一開始就取二分，也就是中間值1.5

1.5帶入式子計算 =>1.5² -2 > 0

代表我們猜的中間值取大了

這時候就要再去二分了，取的是[1,1.5]之間的中間值也就是1.25。

1.25帶入式子計算 =>1.25² -2 < 0

代表我們猜的中間值取小了

這時候就要再去二分了，取的是[1.25,1.5]之間的中間值

後續就持續往中間去逼近要求解的根，這就是Bi-Section

所以程式演算法每一次都會圍繞在[a,b]區間做三件事

1. 先找中間值
2. 接著判斷根在哪一半，再去調整左右哪側要取代為新的中間值
3. 只要目前左右邊界 a 和 b 的距離還大於 0.000001，就繼續二分。

二分逼近法程式範例

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

def f(x): return x**2 - 2 a, b = 1, 2 while b - a > 0.000001: c = (a + b) / 2 if f(a) * f(c) < 0: b = c else: a = c print((a + b) / 2)

運行結果

利用Bi-section反推求解Volatility

選擇權定價主要是以

${\mathrm{<br>}}_{}$

$S_0$、 K 、 r 、 T、volatility來計算call 和 put的價格

其中以下這些都是能根據當時市場狀況和合約內容直接得知或推得，也是固定值：

$S_0$：時間 0 時的股票價格

$K$：履約價(合約到期價格)
$r$：無風險利率

$T$：選擇權的存續期間，以年為單位，通常以交易日計算，例如一年為 252 個交易日

而唯獨Volatility(波動率)是需要估測的，能夠利用歷史波動率和統計作協助。

那也可改思考成輸入

$S_0$、 K 、 r 、 T、當時call price的成交價格，來計算Volatility

換言之，就是找出一個volatility使其滿足Black-Scholes公式計算

blsprice($S_0$, K , r , T , Vol) 能近似於call price(現在成交價格)的問題

因為其他參數都為固定參數，我們可以用f(vol)去代替

blsprice($S_0$, K , r , T , Vol)  - call   ，找出最適vol使f(vol)近似於0

假設波動率是坐落於0~1中間的數字

計算f(0.5)，若f(0) * f(0.5) < 0改去找0~0.5之間，反之則找0.5~1之間。

重複上述動作，持續對半縮減搜尋範圍。

在上一篇已經藉由Black-Scholes求解出call price

人工智慧金融投資決策_複利計算(Compounding the Interest)_Put-Call Parity(買賣權平價關係)、Black-Scholes Formulas

現在我們反過來看，比方有人交易成交價格為16.383741845158895

那要去反推當時的vol是多少，如果求解出來近似0.2就代表是正確的。

利用當時的call price套用二分逼近法反推波動率的程式範例

import math
from scipy.stats import norm
#傳入S、K、T、r、val，返回合理價格
def blsprice(S, K, T, r, vol):
    d1 = (math.log(S / K) + (r + vol * vol / 2) * T) / (vol * math.sqrt(T))
    d2 = d1 - vol * math.sqrt(T)
    call = S * norm.cdf(d1) - K * math.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    return call

S = 50
K = 40
T = 2
r = 0.08
vol = 0.2
call = blsprice(S, K, T, r, vol)
print(call)



#傳入S、K、T、r、call，返回當時的波動率vol
def BisectionBLS(S,K,T,r,call):
  left = 0.00000001
  right = 1
  while(right-left >= 0.00001):
    middle = (right+left)/2
    if((blsprice(S,K,T,r,left)-call)*(blsprice(S,K,T,r,middle)-call) < 0):
      right = middle
    else:
      left = middle
  return (left+right)/2
print(BisectionBLS(S,K,T,r,call))

運行結果

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