Stochastic(Random) Processes筆記1

在沒有特定方法或沒有經過有意識決策的情況下所做、完成或發生的。

在統計學（Statistics）中，指由隨機機率（chance）所支配或涉及相等機率的情況。

Stochastic：adj. 隨機的／隨機性的

具有隨機的機率分布（random probability distribution）或模式，可以透過統計方法進行分析，但可能無法被精確預測。

Process：n. 過程

為了達成某個特定目標而採取的一連串動作或步驟。

隨機過程 Stochastic(Random) Processes

為什麼要引入隨機過程（random process）？

為了方便對一個系統進行分析。

在一個系統中，例如通訊系統（communication system），可以考慮兩種模型：

確定性模型（Deterministic model）
對其隨時間變化的（精確）行為不存在不確定性。
隨機模型／隨機過程模型（Random or Stochastic model）
對其隨時間變化(time-dependent)的行為存在不確定性，但對其統計行為(statistical behavior)則具有一定的確定性。

隨機變數 Random Variables

在機率空間 $(S,\mathcal{F},P)$ 上的一個隨機變數，其中：

$\mathcal{F}$ 是一個σ-field，對於每一個 $x\in\mathbb{R}$ ，{ζ∈S:x(ζ)≤x}都必須是一個事件（event）。
否則，隨機變數 $x$ 的累積分布函數(cumulative distribution function, CDF)將無法被良好定義
Pr[x≤x]=P({ζ∈S:x(ζ)≤x})
$P$ 是定義在 $\mathcal{F}$ 中各事件上的機率測度（probability measure）

隨機變數是一個實值函數（real-valued function） $x(\zeta)$ ，也就是：

x:S\rightarrow \mathbb{R}

並且對每一個 $x\in\mathbb{R}$ ，都必須滿足：

\{\zeta\in S:x(\zeta)\leq x\}\in\mathcal{F}

「隨機變數」這個名稱其實有些名不副實，因為它既不是隨機的，也不是一個變數。

隨機變數只是將樣本空間中的每一個點（結果）映射到實數線上的一個數值。

S 中的一個元素稱為樣本結果（sample outcome）。

\mathcal{F}

中的一個元素稱為事件（event）。

一個event是

S

的一個子集合（subset）。換句話說，

\mathcal{F}

是由

S

的子集合（事件）所組成的一個非空集合（non-empty collection），所以∈ F 會直覺去聯想到是探討機率。

機率測度（Probability measure）: $P$ 是針對

\mathcal{F}

中的事件所定義的。

第25個冬天