賽局理論_ Chapter 09 Game theory_筆記_Auctions(拍賣)

https://www.ias.ac.in/public/Resources/meetings/myrmeet/pjm1_talks/ynarahari/img22.html

9.1 Types of Auctions

每位競標者(bidder)對拍賣物品都有一個內在價值，她願意以最高不超過此價值的價格購買該物品。內在價值被視為競標者對該物品的真實價值。

拍賣單一物品主要有四種類型。

1.Ascending-bid auctions(English auctions)遞增價格拍賣/英式拍賣

以即時互動的方式進行，賣方逐漸提高價格，投標者陸續退出，直到最後只剩下一位投標者為止，投標者以該最終價格贏得標的物。

2.Descending-bid auctions(Dutch auctions) 遞減價格拍賣/荷蘭式拍賣

也是互動式的拍賣方式，賣方會逐步降低原本較高的價格，直到有競買人願意接受並支付目前的價格為止。

 

3.First-price sealed-bid auctions (sealed bids) 第一價密封投標拍賣

投標人同時向賣方提交“密封投標書”。

賣方會將所有投標人的密封信封一起打開。

出價最高者將獲得該物品，並需支付其出價的價值。

4.Second-price sealed-bid auctions (Vickrey auctions) 第二價封閉式拍賣

投標人同時向賣方提交“密封投標書”。

出價最高者將獲得該物品，並需支付第二高出價的價值。

9.2 What Are Auctions Appropriate?

賣家無法準確估計買家對商品的真實價值，且買家之間也不清楚彼此的出價價值。

Known Values case

• 賣方與買方皆知曉彼此對該物品的估價
• 假設賣方正試圖以 x 的價格出售某物品，而任何潛在買方所持有的最高估價為某個較大的數值 y，當物品由估價較低者 (x) 賣給估價較高者 (y) 時，會產生 y – x 的剩餘。
• 在已知價值（Known Values）的情況下，賣家只需藉由公布正確的價格，就能獲得他所能合理預期的最高收益，剩餘價值的全部將歸賣家所有。
• 相較之下，買家若要贏得剩餘價值，則需出價略高於 x（此時贏家需要知道其他所有人的價值）
  

Unknown Values case

• 賣方不知道買方的價值；買方不知道賣方的價值，也不知道其他買方的價值。
• 買方對該物品擁有獨立且私人的價值。
• 買方可能對消費該物品感興趣，而他們的價值反映了每個人對該物品的喜愛程度。

9.3 Relationships between Different Auction Formats

密封第一價拍賣可視為一種降價拍賣(遞減價格)

• 遞減價格拍賣（荷蘭式拍賣）
• 當賣家從高昂的初始起標價開始調降價格時，投標者皆保持沉默，直到最後有人實際接受該報價並支付當前價格為止
• 在拍賣進行期間，投標者唯一能得知的信息是目前尚未有人接受當前的價格
• 對於每位投標者(bidder)，假設用 i 表示第i位bidder 。bi 是其願意採取行動並支付的第一個價格。

• 密封投標第一價格拍賣
• 價格 bi 代表投標者 i 的出價
• 該物品由出價最高者得標
• 得標者支付其出價金額以換取該物品

第二價拍賣可視為一種升價拍賣模擬，它採用密封標價的方式(買家之間無法有即時互動)。

• 遞增價格拍賣（英式拍賣）
• 隨著賣家穩定提高價格，投標者逐漸退出
• 拍賣的贏家是最後留下的投標者，且其支付的價格為倒數第二位投標者退出時的價格。
• （情境 #1）在價格達到真實價值後仍留在拍賣中。要嘛輸了且一無所獲；要嘛贏了卻必須支付高於實際價值的價格
• （情境 #2）在價格達到實際價值之前退出。過早退出將一無所獲，並失去中標的機會
• （情境 #3）投標者應留在遞增價格拍賣中，直到價格達到其真實價值的確切時刻為止。
• 密封遞價第二價格拍賣（Sealed-second-price Auctions）
• 得標者為出價最高的人，但支付價格等於第二高的出價
• 密封遞價第二價格拍賣所使用的規則

差異：

升價拍賣涉及買家與賣家之間的即時互動

二價拍賣可被視為一種利用密封投標來模擬升價拍賣的過程

僅從表面比較第一價格與第二價格拍賣，可能會讓人以為賣家若舉行第一價格拍賣能賺到更多錢：畢竟，他獲得的是最高出價，而非次高出價。

9.4 Second-Price Auctions

次價拍賣(第二價拍賣)：誠實投標為何是優勢策略？

將次價拍賣形式化為一場賽局

• 令 

  $v_i$

   為競標者 

  $i$

   對該物品的真實價值。競標者 

  $i$

   的策略是根據其真實價值 

  $v_i$

   決定投標金額 

  $b_i$

  。

• 在次價密封投標拍賣中，對於價值為 

  $v_i$

   且投標金額為 

  $b_i$

   的競標者 

  $i$

  ，其**收益（payoff）**定義如下：

  • 如果 

    $b_i$

     不是得標標價，則 

    $i$

     的收益為 0。

  • 如果 

    $b_i$

     是得標標價，且其他某個 

    $b_j$

     是第二高標價，則 

    $i$

     的收益為 

    $v_i-b_j$

    。

• 可能的平手情況： 兩個人提交相同的投標金額，且同為最高價。

• 解決方式： 根據競標者的固定排序規則（例如編號優先順序）來決定。

• 關於次價拍賣主張的精確陳述如下：

  • 主張（Claim）： 在密封次價拍賣中，對每位競標者 

    $i$

     而言，選擇投標金額 

    $b_i=v_i$

     是一個優勢策略（dominant strategy）。

• 需考慮的兩種偏離情況：

  1. 競標者 

     $i$

      提高標價的偏離。

  2. 競標者 

     $i$

      降低標價的偏離。

• 關鍵點：

  • 競標者 

    $i$

     的投標金額僅影響其是否得標，但絕不會影響其在得標情況下所支付的金額。