隨機訊號的古典表示法_機率分布函數、機率密度函數、一階統計特性
Deterministic Signal(確定性訊號)
有確定的函數映射關係，能準確預測未來，比方正弦訊號。
y=f(x)
Stochastic(Random) Signal(隨機訊號)
無法準確預測未來，例如從0到1的常態(均勻)分佈。
雖然無法預測，但可以說下一個時刻的值如果是0.5，可能對應機率會是多少。
我們可以對某點時刻的值大小的機率分布。
機率分布函數
一維機率分布函數
對於一個隨機變量，用於表示它的機率分布函數。
如果取值是離散的(比方拋硬幣的正反面情境)，則可用機率密度函數去表示。
底下就是硬幣正反面的一個拋擲硬幣機率分布函數(上)跟機率密度函數(下)各自的圖形
Chapter 8 — Discrete Random Signals ，p.381，Eq. (8.4)，Fig. 8.3
二維機率分布函數
是探討兩個隨機變量之間的關係
對於第一個樣本、第一個時間點(或其他時間點)、第二個樣本、第二個時間點(或其他時間點)，其二維聯合機率分布函數的二階偏微分對應著相應的二維聯合機率密度函數。
也可理解為對於隨機過程中兩個隨機變數 \(x_n\) 和 \(x_m\) 之間的相依關係，
可由聯合機率分布函數，用如下式子表示:
對於量化後的隨機變數，聯合機率質量函數(Joint PMF,Probability Mass Function)則可定義如下:
當隨機變量統計彼此相互獨立時，則可拆成兩個機率密度函數的乘積。
統計特徵(
一階統計特性共有均值、均方值、方差
期望值(均值)
由於隨機訊號是能量無窮的功率訊號，因此隨機過程的平均值（Average）或均值（Mean）可用以下來表示，其中，\(E\) 表示數學期望值
其中：
\(x_n\)：隨機過程在第 \(n\) 個時間點的隨機變數。
\(x\)：隨機變數可能出現的數值。
\(p_{x_n}(x,n)\)：在第 \(n\) 個時間點的機率密度函數。
\(E[x_n]\)：隨機變數 \(x_n\) 的期望值。
當我們要改去計算連續型隨機變數經某g函數轉換後的平均值，則可將\(x\) 隨意換成 \(g(x)\)
代表對隨機變數進行某種數學運算。
比方 \[
g(x)=x^2
\] ，則底下這式子就會是求 \(X^2\) 的平均值。
我們可以直接利用 \(X\) 的機率分布，計算 \(g(X)\) 的期望值。
如果隨機變數已經經過量化，其可能的數值會變成離散的數值。因此就會從積分改為以下的加總數學式子作表示。
就是多出一個平方，有時也被稱為平均功率（Average Power）
方差(變異數)
在這邊我們會需要足夠樣本或可理解為足夠長的取樣時間，才能求取出來。
其中 \(x_n\) 的變異數是 \([x_n-m_{x_n}]\) 的均方值
由於總和的平均值等於各個平均值的總和，因此也能改寫為以下式子:
然而，對於平穩過程而言，它們都是和時間無關的常數，。
Ref:
中國MOOC-电子科技大学/生物医学信号处理-李凌
參考書
Digital Signal Processing (1975) Alan V. Oppenheim/ Ronald W. Schafer
Chapter 8 — Discrete Random Signals
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