第25個冬天

用蒙地卡羅法估算歐式買權1000次股價路徑 假設有一個商品50元，買家先跟賣家先約定好一年後要用60元去購買此商品。 若我們能夠預先估測一年後此商品出現在不同價位的機率是多少，那賣家就可以去估測賣給買家的這份合約應該值多少錢，而這有一個公平計價基準，也就是選擇權定價。 Black-Scholes 選擇權定價公式 買權（Call Option） ​ 賣權（Put Option） ​ 其中： S 0 S_0 S 0 ​ ： 目前股票價格 ，也就是時間 t = 0 t=0 t = 0 時的股價。 K K K ： 履約價格（Strike Price） 。 r r r ： 無風險利率（Risk-free Rate） 。 T T T ： 選擇權剩餘期間 ，以「年」為單位；實務上通常以交易日換算，例如一年約 252 個交易日 。 σ \sigma σ ：股票價格的 年化波動率（Volatility） 。 N ( x ) N(x) N ( x ) ： 標準常態分布的累積分布函數（CDF） 。 而 N ( x ) N(x) N ( x ) 可以理解成一個標準常態分布隨機變數，小於等於 x 的累積機率。 其數學表示為： 白話理解 Black-Scholes 公式就是利用 目前股價、履約價、無風險利率、到期時間、波動率 這 5 個主要因素，計算歐式買權與賣權的理論價格。 其中 d 1 d_1 d 1 ​ 、 d 2 d_2 d 2 ​ 可以先把它們視為公式中的「中間計算值」， 再透過標準常態分布的累積機率 N ( d 1 ) N(d_1) N ( d 1 ​ ) 、 N ( d 2 ) N(d_2) N ( d 2 ​ ) ，最後算出 Call 與 Put 的理論價格。 這邊用到Monte Carlo Simulation給予一些前置假設，嘗試去模擬一千到一萬次股價分佈，去計算期望值反推。 也可以白話來理解為 未來的股票價格變動 = 可預期的報酬趨勢 + 無法預測的隨機波動。 先備知識可參考蒙地卡羅求解圓周率 https://coolmandiary.blogspot.com/2026/08/monte-carlo-simulation_0688571789.html 蒙地卡羅法放到金融市場 一般化的維納過程（Wiener proce...

https://mwrona.com/posts/bisection-method/ 二分逼近法(Bisection Method) 當處於連續函數情境，則適合去套用bisection方法。 以下是一個推導的動畫示意 求解 f(x) = x² - 2 = 0 ，即找到 √2 ≈ 1.4142... 根據上面的數學式子很明顯會知道要求解的根位於1~2之間 那我們一開始就取二分，也就是中間值1.5 1.5帶入式子計算 => 1.5²  -2 > 0 代表我們猜的中間值取大了 這時候就要再去二分了，取的是[1,1.5]之間的中間值也就是1.25。 1.25帶入式子計算 => 1.25² -2 < 0 代表我們猜的中間值取小了 這時候就要再去二分了，取的是[1.25,1.5]之間的中間值 後續就持續往中間去逼近要求解的根，這就是Bi-Section 所以程式演算法每一次都會圍繞在[a,b]區間做三件事 先找中間值 接著判斷根在哪一半，再去調整左右哪側要取代為新的中間值 只要目前左右邊界 a 和 b 的距離還大於 0.000001，就繼續二分。 二分逼近法程式範例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 def f (x): return x** 2 - 2 a, b = 1 , 2 while b - a > 0.000001 : c = (a + b) / 2 if f(a) * f(c) < 0 : b = c else : a = c print ((a + b) / 2 ) 運行結果 利用Bi-section反推求解Volatility 選擇權定價主要是以 S 0 S_0 S 0 ​    、 K 、 r 、 T、volatility來計算call 和 put的價格 其中以下這些都是能根據當時市場狀況和合約內容直接得知或推得，也是固定值： S 0 S_0 S 0 ​ ：時間 0 時的股票價格 K K K ：履約價(合約到期價格) r r r ：無風險利率 T T T ：選擇權的存續期間，以年為單位，通常以交易日計算，例如一年為 252 個交易日 而唯獨V...

  ASP呼叫DLL寫好的VB6封裝函數 執行結果 Step1.新增VB6的ActiveX DLL專案 Step2.到專案屬性面板去更改Project Name跟Project Description以及調整其Threading Model設置為Apartment Threaded Step3.更改Class名稱設置為MyFunction Step4.撰寫函數功能邏輯 Step5.將專案跟cls程式檔存檔 Step6.選擇製成dll Step7.新增註冊用.bat檔案，放在跟dll同樣目錄位置 雙點擊執行按OK https://expect7.pixnet.net/blog/posts/5058511170

  https://www.wallstreetmojo.com/put-call-parity/ 利息的複利計算（Compounding the Interest） 附息證券的價值不僅取決於利率，也取決於利息的複利計算頻率。 (PS:假設取得的利息會以相同利率再投資。) 令： P 0 P_0 P 0 ​ ：初始時間 t 0 t_0 t 0 ​ 的本金金額 r r r ：年利率 n n n ：年數 則經過第 n n n 年後，債券的價值為： 其中： P n P_n P n ​ ：經過 n n n 年後的本金與利息總額 P 0 P_0 P 0 ​ ：初始本金 r r r ：每年的利率 n n n ：投資年數 若提高利息支付頻率，也就是增加複利計算的次數，假設每年計息 m > 1 m>1 m > 1 次，則 P n P_n P n ​ 的價值為： 其中： m m m ：每年的複利計算次數 r m \frac{r}{m} m r ​ ：每一期的利率 n m nm nm ：在 n n n 年內的總計息次數 假設有一項無風險證券，其固定利率為 r r r ，並且在一段 τ > 0 \tau>0 τ > 0 的期間內採用 連續複利 ，則其價值為： 其中： P 0 P_0 P 0 ​ ：初始時間 t 0 t_0 t 0 ​ 的投資本金 P τ P_{\tau} P τ ​ ：從時間 t 0 t_0 t 0 ​ 投資至 t 0 + τ t_0+\tau t 0 ​ + τ 時的到期價值 r r r ：固定年利率 τ \tau τ ：投資期間 e x e^x e x ：指數函數 例如，100 歐元以年利率 10% 連續複利一年，其價值為： P 1 = 100 e 0.1 ≈ 110.517 P_1=100e^{0.1}\approx110.517 P 1 ​ = 100 e 0.1 ≈ 110.517 測試程式 #1-1. r = 0.1 #年利率百分之10 100 *( 1 + r )** 10 #100元投入，投資10年獲得259.37元 #1-2.離散的發行，年利率 10% 時，100 歐元在一年內受到複利計息...